Question

（本小题满分16分）

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）.

（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；                  

（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式.                 

Answer

（1）S1=a1=1.S2=，S3==，S4=，猜想Sn=（n∈N*）. 

（2）见解析

【解析】本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．

（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．

（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an．

（1）解  ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=，                     ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=（n∈N*）.                       ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

（2）证明  ①当n=1时，S1=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，

当n=k+1时，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，           

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=，∴an=.               ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分