Question

大楼共有n层，现每层指派一人，共n个人集中到第k层开会 试问如何确定k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）

Answer

【解析】
设相邻两层楼梯长为a ，

则问题转化为下列和式S的最小值的探求：

S = S（k) = a [1 +2 +3 + ××× + (k─1)]  + a [1 +2 + ××× + （n – k )]

= a [ k 2 – (n +1) k +  (n 2 + n) ]

目标函数S（k)为 k的二次函数，且a > 0 ，

故当n为奇数时，取k = ，S最小；当为n偶数时，取k =   或 ，S最小

【解析】本试题主要是考查了等差数列的求和在实际生活中的运用，并且求解和式的最小值问题。设相邻两层楼梯长为a ，

则问题转化为下列和式S的最小值的探求S = S（k) = a [1 +2 +3 + ××× + (k─1)]  + a [1 +2 + ××× + （n – k )]

利用二次函数的性质得到结论。