Question

已知函数f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，

(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；

(3)若t∈R，求证：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

Answer

(1)【解析】
设y=，则(y－2)x2－bx+y－c=0 ①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b2－4(y－2)(y－c)≥0，

即4y2－4(2+c)y+8c-b2≤0    ②                      

由条件知，不等式②的解集是［1，3］

∴1，3是方程4y2－4(2+c)y+8c-b2=0的两根

∴c=2，b=－2，b=2(舍）

(2)任取x1，x2∈［－1，1］，且x2＞x1，则x2－x1＞0，且

(x2－x1)(1－x1x2)＞0，

∴f(x2)－f(x1)=－＞0，

∴f(x2)＞f(x1)，lgf(x2)＞lgf(x1)，即F(x2)＞F(x1)

∴F(x)为减函数.

即－≤u≤，根据F(x)的单调性知

F(－)≤F(u)≤F()，∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg对任意实数t 成立.

【解析】（1）由已知中函数的值域是[1，3]，利用判别式法，我们可以构造出一个关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值；

（2）由（1）的结论我们易给出函数F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我们可以判断出F（x1）与F（x2）的大小，结合函数单调性的定义，我们易判断出函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性．

（3）根据函数的单调性得到不等式的证明，。