Question

（本小题满分13分）若集合具有以下性质：①②若，则，且时，.则称集合是“好集”.

（Ⅰ）分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；

（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；

（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.

命题：若，则必有；

命题：若，且，则必有；

Answer

（Ⅰ）有理数集是“好集”.  （Ⅱ）.

（Ⅲ）命题均为真命题.. 

【解析】(I) 先假设集合是“好集”.因为，，所以

这与矛盾.这样就确定集合不是“好集”.有理数Q也采用同样的方法,进行推证.

(II)根据好集的定义是“好集”，则，然后再根据x,y的任意性，可证明.

(III)本小题也是先假设p、q都是真命题，然后根据好集的定义进行推证..

（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”.

因为，，所以. 这与矛盾.…………2分

有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”.    ………………………………4分

（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以 .若，则，即.

所以，即.          …………………………6分

（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下：     ………………………………………7分

对任意一个“好集”，任取， 若中有0或1时，显然.

下设均不为0，1. 由定义可知：.所以，即.  

所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.

若或，则显然.若且，则.

所以 .    所以 .由（Ⅱ）可得：.

所以 .综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.

所以 ，即命题为真命题.    ……………………………………13分