Question

（本小题满分14分）

已知函数，(e为自然对数的底数)

（Ⅰ）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在上无零点，求a的最小值；

（III）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求a的取值范围.

Answer

（Ⅰ）的单调减区间为单调增区间为

（Ⅱ）若函数在上无零点，则的最小值为；

（III）当时，对任意给定的在上总存在两个不同的，使成立．

【解析】(I)当a=1时，解析式确定直接利用得到函数f(x)的增（减）区间.

（II）解本小题的关键是先确定在上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立．

再构造函数利用导数求l(x)的最大值即可.

（III）解本小题的突破口是当时，函数单调递增；当时，函数 单调递减.

所以，函数当时，不合题意；再确定时的情况.

【解析】
（Ⅰ）当时，由

故的单调减区间为单调增区间为         ………………………………4分

（Ⅱ）因为在上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，

只要对任意的恒成立，即对恒成立．          

令则再令

在上为减函数，于是

从而，，于是在上为增函数

故要使恒成立，只要

综上，若函数在上无零点，则的最小值为……………………8分

（III）当时，函数单调递增；

当时，函数 单调递减

所以，函数当时，不合题意；

当时，  

故必需满足  ①

此时，当 变化时的变化情况如下：

—

0

+

单调减

最小值

单调增

∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的

使得成立，当且仅当满足下列条件② ③

令  

令，得

当时， 函数单调递增；当时，函数单调递减．

所以，对任意有即②对任意恒成立． 

由③式解得：    ④             

综合①④可知，当时，对任意给定的在上总存在两个不同的，使成立．………………………………14分