Question

（本小题8分）已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2．

   （1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；

   （2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程．

Answer

 (1)点P的轨迹C的方程为x2+y2=1． (2) x=1  或3x-4y+5=0  。

【解析】本题考查点轨迹方程的求法，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑切线的斜率不存在的情况，这是易错点

（1）设P（x，y），由|AB|=2，且P为AB的中点，可得|OP|=1，由两点间的距离公式求得点P的轨迹方程．

（2）①当切线的斜率不存在时，由条件易得x=1符合条件；②当切线的斜率存在时，设出切线方程，由切线的性质可解得斜率k的值，用点斜式求得切线方程．

解: (1) 方法一：设P(x , y ),   

∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，

∴∣OP∣=1                 ……………………2分

 ∴点P的轨迹方程为x2+y2=1．  ……………………4分

 方法二：设P(x , y )， ∵P为AB的中点，

∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ),         ………………………2分

又∵∣AB∣=2     ∴(2x)2+(2y)2=2             

化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1． ……………4分

 (2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,

由条件易得  x=1符合条件;     ………………5分

②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-2=k(x-1)  即kx-y+2-k=0

 由     得k=,   ∴切线方程为y-2= (x-1)

即 3x-4y+5=0 

综上，过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程为：

x=1  或3x-4y+5=0      ……………………8分