Question

 （本小题8分）已知三棱锥A—BCD及其三视图如图所示．

（1）求三棱锥A—BCD的体积与点D到平面ABC的距离；

（2）求二面角 B-AC-D的正弦值．

Answer

(1) ；(2)二面角 B-AC-D的正弦值是。

【解析】考查线面平行、线线垂直的判定定理以及体积的求解．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题

（1）利用三视图可知△ABC为直角三角形，∠DBC为直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2，则DE的长为点D到面ABC的距离，以及三棱锥的体积可得。

（2）作DF⊥AC于点F,连结EF，

∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF

∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角从而解三角形可知。

(1)

由三视图可得△ABC为直角三角形，∠DBC为直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2分

作DE⊥AB于点E

∵AD⊥面DBC，∴AD⊥BC

∵∠DBC为直角  ∴BC⊥面ADB

∴BC⊥DE

∴DE⊥面ABC………3分

∴DE的长为点D到面ABC的距离

∵DB=1,AD=2      ∴DE=   ∴点D到平面ABC的距离为………4分

∵,∴………5分

(2) 作DF⊥AC于点F,连结EF，

∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF

∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角………7分

∵DB=BC=1 ∴DC=  ∴DF=

∴sin∠DFE=

∴二面角 B-AC-D的正弦值是………8分