Question

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）若几何体的体积为，求实数的值；

（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）是否存在实数，使得二面角的平面角是，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

：（1）体积；

（2）异面直线与所成角的余弦值为。……4分

（3）不存在实数，使得二面角的平面角是。

【解析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．

（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．

（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．

解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．

解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可

（1）体积；   ……3分

（2） 法一：过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，，，

；

即异面直线与所成角的余弦值为。……4分

法二: 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系（图略），则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。          ……4分

（3）平面的法向量，      ……1分

平面的法向量，，，……1分

由，可得，。…3分

此时，与正视图为直角梯形条件不符，所以舍去，

因此不存在实数，使得二面角的平面角是