已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)若几何体的体积为,求实数的值;
(2)若,求异面直线与所成角的余弦值;
(3)是否存在实数,使得二面角的平面角是,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
抛物线的准线与轴交于,焦点为,若椭圆以、为焦点、
且离心率为。
(1)当时求椭圆的方程;
(2)若抛物线与直线及轴所围成的图形的面积为,求抛物线和直线的方程
泉州市组织群众性登清源山健身活动,招募了名师生志愿者,现将所有志愿者按年龄情况分为等六组,其频率分布直方图如下图所示: 已知之间的志愿者共人.
(1)求和之间的志愿者人数;
(2)已知和之间各有名数学教师,现从这两个组中各选取人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有名数学教师的概率?
(3)组织者从之间的志愿者(其中共有名女教师,其余全为男教师)中随机选取名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为,求的分布列和数学期望.
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线的极坐标方程为:,若点为曲线上的动点,其中参数.
(1)试写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程;
(2)求点到直线距离的最大值.
对于三次函数,定义是的导函数的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,可以证明,任何三次函数都有“拐点”,任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,请你根据这一结论判断下列命题:
①任意三次函数都关于点对称:
②存在三次函数有实数解,点为函数的对称中心;
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;
④若函数,则,
其中正确命题的序号为__ _____(把所有正确命题的序号都填上).
某同学由于求不出积分的准确值,于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分.他用计算机分别产生个在上的均匀随机数和个在上的均匀随机数,其数据记录为如下表的前两行.
x |
2.50 |
1.01 |
1.90 |
1.22 |
2.52 |
2.17 |
1.89 |
1.96 |
1.36 |
2.22 |
y |
0.84 |
0.25 |
0.98 |
0.15 |
0.01 |
0.60 |
0.59 |
0.88 |
0.84 |
0.10 |
lnx |
0.92 |
0.01 |
0.64 |
0.20 |
0.92 |
0.77 |
0.64 |
0.67 |
0.31 |
0.80 |
则依此表格中的数据,可得积分的一个近似值为 .