Question

设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取个整点，求这些整点中恰有个整点在区域内的概率；

（2）在区域内任取个点，记这个点在区域内的个数为，求的分布列，数学期望及方差．

Answer

（1）．（2）的分布列为：

0

1

2

3

的数学期望．

【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出平面区域U的整点的个数N，平面区域V的整点个数为n，这些整点中恰有2个整点在区域V的概率

（1）依题可得：平面区域U的面积为：π•22=4π，平面区域V的面积为： ×2×2=2，在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为

易知：X的可能取值为0，1，2，3，则X∽B（3，） ，代入概率公式即可求得求X的分布列和数学期望和方差

（1）依题可知平面区域的整点有

共有13个，   ……2分

     平面区域的整点为共有5个，∴．……4分

（2）依题可得：平面区域的面积为：，平面区域的面积为：．

在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为，   ……1分  

法一：显然，则，……3分

∴的分布列为：

0

1

2

3

故，……3分

法二：的可能取值为，                     

 ．

∴的分布列为：

0

1

2

3

的数学期望