Question

已知函数(为实数)有极值，且在处的切线与直线平行．

（1）求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数的极小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由；

（3）设,的导数为,令

求证：

Answer

(1)  (2)存在.  (3)略

【解析】

（1）根据极值的信息，则选用导数法，先求f'（x），再由f（x）有极值，可有=a2-4b＞0，又由在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1从而求解

（2）先假存在，则根据条件，则有关于a的不等式，进而得到范围。

（3）构造函数利用导数的思想求解函数的最值得到证明

(1)∵,∴，

由题意∴，     ①      ……2分

∵有极值，∴方程有两个不等实根．

∴、    ∴．    ②

由①、②可得，．   ∴或．

故实数的取值范围是  …2分

(2)存在.……………1分   

由(1)令，

∴时，取极小值，则=,

∴……………………………………………………2分

若，即则 (舍)．……………………1分

若

∴存在实数,使得函数的极小值为1   ………1分

(3)∵,

  ……．l分

∴其中等号成立的条件为………………3分