Question

已知全集U＝R，集合A＝{x|x²＋(a－1)x－a＞0}，

B＝{x|(x＋a)(x＋b)＞0(a≠b)}，M＝{x|x²－2x－3≤0}．

(1)若∁_UB＝M，求a，b的值；

(2)若，求A∩B；

(3)若，且∁_UA，求实数的取值范围.

Answer

(1) ＝1，＝－3，或＝－3，＝1.

(2) A∩B＝{|＜－或＞1}.(3)≤≤－.

【解析】(1)根据∁UB＝M可知(＋)(＋)＝(＋1)(－3),从而求出a,b值.

（2）根据－1＜＜＜1可知方程(x+a)(x+b)=0的两根的大小关系，再根据二次函数，二次方程，二次不等式之间的对应关系可求出B,进而可求出A交B.

(3)求出∁UA＝{x|1≤≤－},然后利用∈∁UA,可得1≤≤－，解此不等式可得a的取值范围.

【解析】
由题意，A＝{|(＋)(－1) ＞0}，

∁UB＝{|(＋)(＋)≤0}，

M＝{|(＋1)(－3)≤0}.

(1)若∁UB＝M，则(＋)(＋)＝(＋1)(－3)，

所以＝1，＝－3，或＝－3，＝1.

(2)若－1＜＜＜1，则－1＜－＜－＜1，

所以A＝{|＜－或＞1}， B＝{|＜－或＞－}.

故A∩B＝{|＜－或＞1}.

(3)若－3＜＜－1，则1＜－＜3，

所以A＝{|＜1或＞－}，∁UA＝{x|1≤≤－}.

又由∈∁UA，得1≤≤－，解得：≤≤－.