Question

（14分）已知，且（1－2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋anxn．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）求a1＋a2＋a3＋……＋an的值．

(Ⅲ) 求的值。

Answer

（Ⅰ）n＝15．（Ⅱ）a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．

（Ⅲ）

【解析】本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法

（Ⅰ）根据题意，将A 5n=56C 7n

按排列、组合公式展开化简可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a15=-1，令令x=0得a0=1，两式相减可得答案．

【解析】
（Ⅰ）由得：

n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）＝56 ·

即（n－5）（n－6）＝90

解之得：n＝15或n＝－4（舍去）．

∴ n＝15． 

（Ⅱ）当n＝15时，由已知有：

（1－2x）15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15，

令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1，

令x＝0得：a0＝1，

∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．

（Ⅲ）