Question

(本小题满分13分) 已知命题p：x∈A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，命题

q：x∈B＝{x|x²－4x＋3≥0}．   

(1)或A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a

(2)若是p的必要条件，求实数a.

Answer

(1) a＝2；(2) a＝2

【解析】本试题主要考查了命题的真值，以及集合的运算的综合运用，以及二次不等式的求解问题。

（1）由题意得B＝{x|x≥3或x≤1}，-------2分

由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁RB＝(1,3)从而得到结论。

（2）∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x∈{x|1＜x＜3}．--------8分

∵是p的必要条件．即p⇒，

那么可以得到集合间的关系，A⊆∁RB＝(1,3)，从而得到参数a的范围。

【解析】
(1)由题意得B＝{x|x≥3或x≤1}，-------2分

由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁RB＝(1,3)--------4分

∴⇒a＝2---------6分

(2)∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x∈{x|1＜x＜3}．--------8分

∵是p的必要条件．即p⇒，

∴A⊆∁RB＝(1,3)-------10分

∴⇒2≤a≤2⇒a＝2.--------13分