Question

（本小题满分14分）

已知，数列的前项的和记为.

（1）　求的值，猜想的表达式；

（2）　请用数学归纳法证明你的猜想.

Answer

（1）， ，

∴ 猜想 ．

（2）证明：见解析。

【解析】(1)因为，所以可分别求出a1,a2,a3,进而可求出S1,S2,S3.

(2)根据（1）可猜想出,然后利用数学归纳法证明时要分两个步骤：

一先验证：当n=1时，等式成立；

二先假设n=k时，等式成立；再证明当n=k+1时，等式也成立.在证明n=k+1时，一定要用上n=k时的归纳假设，否则证明无效.

（1）∵

∴ ， ，

∴ 猜想 ．

（2）证明：① 当时，，猜想成立

② 假设当时，猜想成立，即：．

当时，

．

∴ 时猜想成立．

∴ 由 ①、②得 得证．

注：若没声明方法，也可用裂项求和法求得．