Question

（本小题满分14分）

(1)　证明：当时，不等式成立；

(2)　要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；

 (3)请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．

Answer

（1）证明：见解析；

（2）∵ 对任何且，式子与同号，恒成立，

∴ 上述不等式的条件可放宽为且．

根据（1）（2）的证明，可推广为：若且，，，

则有 ．

证明：见解析。

【解析】(1)证明易采用作差比较，然后对差值分解因式，再判断每个因式的符号，从而确定差值符号.

（2）根据（1）先观察成立时应具体什么条件，然后再采用作差比较法进行证明.

（1）证明：左式－右式＝,

∵ ，

∴，

∴ 不等式成立．

（2）∵ 对任何且，式子与同号，恒成立，

∴ 上述不等式的条件可放宽为且．

根据（1）（2）的证明，可推广为：若且，，，

则有 ．

证明：左式-右式

．

 若，则由不等式成立；

 若，则由不等式成立.

∴ 综上得： 若 且，，，

则有 成立．

注：（3）中结论为：若且，，

则有 也对．