Question

如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30°、45°，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1．

（I） 求证：MN⊥平面ABCD

（II） 求线段AB的长；

（III）求二面角A-DE-B的平面角的正弦值．

Answer

（I）见解析（II）2（III）

【解析】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角的大小，找出二面角的平面角 是解题的关键。

（1）利用已知可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角，∴∠DEA=45°在Rt△DAE中，∠DAE=90°，∴AE=DE•cos∠DEA=2 ．在Rt△ABE中，AB=2．

（2）利用三垂线定理得到二面角的平面角的大小是解决该试题的关键，

【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，

EB⊥AB，∴EB⊥平面ABCD，又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角，∴∠EDB=30°．

又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°∴DE=4，

连接AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角，∴∠DEA=45°．

在Rt△DAE中，∠DAE=90°，∴AE=DE•cos∠DEA=2 ．在Rt△ABE中，AB=2．

（Ⅲ）：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，∵AD⊥平面ABEF，BO⊂面ABEF，

∴BO⊥平面ADE，∴OH为BH在平面ADE内的射影，∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角．在Rt△ABE中，BO=  ． 在Rt△DBE中，由BH•DE=DB•OE得  BH= ，

∴sin∠BHO=  ．