Question

设函数（常数a,b满足0<a<1,bR）

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若对任意的，不等式｜a恒成立，求a的取值范围。

Answer

（1）f(x)的单调递增区间为(a, 3a)，减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞)

（2）

【解析】解  (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2,令f′(x)＞0,

 得f(x)的单调递增区间为(a, 3a).

 令f′(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(-∞,a)和 (3a,+∞),

∴当x=a时,f(x)极小值=

 当x=3a时,f(x)极大值=b.

(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.∵0＜a＜1,∴a+1＞2a.

∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是减函数.∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1.

f′(x)min=f(a+2)=4a-4.于是,对任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立，

等价于 解得 

又0＜a＜1,∴