Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=。

（1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求E到平面ACD的距离；

（3）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。

Answer

（1）见解析（2）略（3）

【解析】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．

（1）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知AO=1，CO= 3，AC=2，故AO2+CO2=AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD．

（2）利用等体积法得到点到面的距离的求解。

（3）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM=1能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．

【解析】
（1）证明：在三角形ABC中，因为，O是BD中点，

所以AO⊥BD，且   ------------------2分

连结CO，在等边三角形BCD中易得，

所以

所以AO⊥CO   -----------------4分

因为CO∩BD=O，CO、BD平面BCD

所以AO⊥平面BCD    ---------------------6分

（3）分别取BC、AC的中点E、F，连结EF、EG

因为

所以∠FEO或其补角就是异面直线AB、CD所成的角---------8分

连结FO，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥CO，

所以在Rt△ACO中，斜边AC上的中线，

又因为，

所以在△EFO中，

因为>0,所以异面直线AB、CD所成的角的余弦值是---------14分