Question

在四棱锥中，，，平面，为  的中点，．

(1)求四棱锥的体积；

(2)若为的中点，求证：平面平面；

(3)求二面角的大小．

Answer

1）【解析】
在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………3分

则…………………………………………4分

（2）解法一∵平面，∴…………………………5分

又， ，  …………………………6分

∴平面………………………7分    

∵、分别为、中点，

∴   ∴平面………………………8分

∵平面，∴平面平面……9分

（3）解法一：取的中点，连结，则，

∴平面，过作于，连接，…10分

∵AC，，且，∴…11分

则为二面角的平面角。  ……12分

∵为的中点，，，

∴，又，  ……13分

∴，故

即二面角的大小为300……………14分

（2）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz    ………………5分

A（0,0,0）   B（1,0,0）      

       ……6分

，， …7分

设平面AEF的一个法向量为

由  取，得x=1，即   …8分

又平面PAC的一个法向量为  ……9分

    ∴平面平面   ……10分

（3）解法二：易知平面ACD的一个法向量为  ……11分

设平面AEF的一个法向量为

由，取，得,…12分

  ……13分

∴结合图形知二面角的大小为300……………14分

【解析】本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法．

（Ⅰ）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．

（Ⅱ）先证 CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC，从而证得平面PAC⊥平面AEF．

（Ⅲ）由三垂线定理作出∠EQM为二面角E-AC-D的平面角，并证明之，解直角三角形EQM，求出∠EQM的大小．