Question

设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

Answer

（1）证明：当时，，解得．…………………1分

当时，．即．………2分

又为常数，且，∴．           ………………………3分

∴数列是首项为1，公比为的等比数列．      ……………………4分

（2）【解析】
由（1）得，，．    ………………………5分

∵，∴，即． ………7分

∴是首项为，公差为1的等差数列． ………………………………………8分

∴，即（）． ………………………9分

（3）【解析】
由（2）知，则．

所以，                      ………………10分

即，      ① ……11分

则，    ②………12分

②－①得，       ……………………13分

故．   ………………14分

【解析】本题主要考查等比数列的性质．当出现等比数列和等差数列相乘的形式时，求和可用错位相减法．

（1）当n≥2时，根据an=Sn-Sn-1，进而得出an和an-1的关系整理得anan-1 =m( 1+m) ，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{an}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．

（2）根据（1）可得f（m）的解析式．再根据bn=f（bn-1）整理可得（1 bn） -（1 bn-1） =1进而推知数列{bn}为等差数列，首项为2a1，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．

（3）把（2）中的bn代入{2n+1 bn }，再通过错位相减法求得Tn