Question

已知函数，，其中．   

（1）设函数，若在区间是单调函数，求的取值范围；

（2）设函数，是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）因    ……1分

， ∵在区间上单调     

恒成立   ……2分

   恒成立

设

令有，记 

由函数的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，……4分

∴，于是   ……5分

∴                    ……6分

（2）当时有；   ……7分

当时有，因为当时不合题意，因此，……8分

下面讨论的情形，

记  求得  A，B=

（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有   ……9分

（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此    ……11分

综合（ⅰ）（ⅱ）       ……12分

当时A=B，则，即使得成立，

因为在上单调递增，所以的值是唯一的；…13分

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，

所以满足题意.   …14分

【解析】本试题主要是考查导数在研究函数中的运用。

（1）根据函数在给定区间单调递增，则可以利用导函数恒大于等于零，分离参数的思想求解参数的范围，

（2）分别分析函数f(x)和g(x)的性质得到单调性，进而确定是否存在点满足已知条件来求解得到。