Question

（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，⊥，⊥，，为的中点，且⊥.

(1)求证：⊥平面；(2)求三棱锥的体积.

Answer

【解析】
(1)见解析；(2) ＝·CD

＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝.

【解析】本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力

（1）证明CD⊥BB1，通过BB1⊥AB，AB∩CD=D，即可证明BB1⊥面ABC

（2）所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积．

【解析】
(1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.……6分

(2)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高，

在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝，

又BB1＝2，∴＝·CD

＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝.……12分