Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（1）求证：CE⊥平面PAD；

（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

Answer

（1）见解析（2）

【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识，考查数形结合思想，化归与转化的思想．

（I）由已知证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得；

（II）由（I）可知CE⊥AD，计算S△CED，S△CEP，利用等体积，即可求得点D到平面PCE的距离，从而得到体积的值。

【解析】
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,

因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.

(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.

又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以

==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,

所以四棱锥P-ABCD的体积等于