Question

若椭圆C：上有一动点P，P到椭圆C的两焦点 F₁，F₂的距离之和等于2，△PF₁F₂的面积最大值为1

（I）求椭圆的方程

（II）若过点M（2，0）的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，（O为坐标原点）且| ，求实数t的取值范围．

Answer

（I）；

（II）t的取值范围是（－2，）∪（，2）

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）因为椭圆C：上有一动点P，P到椭圆C的两焦点 F1，F2的距离之和等于2，△PF1F2s的面积最大值为1，利用定义和三角形的面积公式得到a,b,c的值得到椭圆方程。

（2）设出直线方程，然后与椭圆联立方程组，得到关于变元的二次函数，然后借助于韦达定理和向量的关系式得到参数t与k的关系，然后借助于函数的性质得到范围。

【解析】
（I）由已知得，∴，

又∵，∴，

所以椭圆的方程为：

（II）l的斜率必须存在，即设l：

联立，消去y得

即

由得

设，，由韦达定理得，

而＋＝，设P（x，y）

∴

∴

而P在椭圆C上，∴

∴（*），又∵

解之，得，∴

再将（*）式化为，将代入

得，即或

则t的取值范围是（－2，）∪（，2）