Question

（本小题满分12分）

已知数列{}满足,且点在函数的图象上，其中=1,2,3,….

（Ⅰ）证明：数列{lg(1+)}是等比数列；

（Ⅱ）设=(1+)（1+）…（1+），求及数列{}的通项.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)

=2n-1lg3=lg.∴+1=. 则 = -1     

∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   

==.∴=,=-1.

【解析】(I)紧扣等比数列的定义进行证明即可.先由由于(,)在函数的图象上,

可得,从而可得,,从而得到证明.

(II)求出,然后可知然后再利用等比数列前n项和公式求解.

（Ⅰ）证明: 由于(,)在函数的图象上，

∴=+2,∴+1=.                      …………4分

∵=2，∴+1﹥1,∴lg（+1）=2lg（+1）.

∴数列{lg(+1)}是公比为2的等比数列.                 …………6分

（Ⅱ）解:  由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)

=2n-1lg3=lg.∴+1=. 则 = -1              …………9分

∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   

==.∴=,=-1.                       …………12分