Question

（本小题满分12分）

如图，是直角梯形，又，

，直线与直线所成的角为．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）或 。

【解析】(I)证明即可.

(II) 取BC的中点N，连结AN,MN,可证出,

再作，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角 ,然后解三角形求角即可.

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴                                  …………5分

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角                                  …………8分

直线与直线所成的角为

∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为                       …………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则

由直线与直线所成的解为，得

，即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得                     …………8分

平面的法向量取为

设与所成的角为，则

显然，二面角的平面角为锐角，

故二面角的平面角大小为                           …………12分