Question

（本小题满分12分）

已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由.

Answer

（Ⅰ） ；（Ⅱ） 。

【解析】设M（x，y）是曲线C上任一点,根据,用M的坐标表示出P的坐标,然后根据点P在椭圆上,可求出点M的轨迹方程.

(II) 当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件,所以设直线l的方程为y=kx－2,它与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程,然后因为，所以四边形OANB为平行四边形，

假设存在矩形OANB，则,即，

从而根据韦达定理可得到关于k的方程,求出k值,再验证是否满足判别式大于零.

（Ⅰ）设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，，所以点P的坐标为（x，3y）   点P在椭圆上，所以，

因此曲线C的方程是                                …………5分

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件

所以设直线l的方程为y=kx－2与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），经N点平行x轴的直线方程为

 ，

  由

，       …………8分

 因为，所以四边形OANB为平行四边形，

假设存在矩形OANB，则

即，

所以

，       …………10分

设N（x0，y0），由，得

，即N点在直线，

所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为        …………12分