Question

如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.

（1）证明：MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥A′－MNC的体积.

（锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高）

Answer

（1）见解析（2）

【解析】【解析】
（1）(证法一)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，

AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点，

又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′，

AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

(证法二)取A′B′中点P，连结MP，NP，

M、N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，

又MP∩NP＝P，

因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN.

因此MN∥平面A′ACC′.

（2）(解法一)连结BN，

由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，

所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.

(解法二)

VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.