Question

如图6所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上.

图6

（1）求抛物线E的方程；

（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

Answer

（1）x2＝4y（2）见解析

【解析】【解析】
（1）依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.

设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.

因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.

故抛物线E的方程为x2＝4y.

（2）由（1）知y＝x2，y′＝x.

设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－.

由得

所以Q.

假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝ (x0≠0)的x0，y0恒成立.

由于＝(x0，y0－y1)，＝.

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0.

即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)

由于(*)式对满足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，所以

解得y1＝1.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).