Question

已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.

Answer

（1）函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)

（2）（3）

【解析】【解析】
（1）f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a).由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，－1)

－1

(－1，a)

a

(a，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗

故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a).

（2）由（1）知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间

(－2,0)内恰有两个零点当且仅当

解得0＜a＜.

所以，a的取值范围是.

（3）a＝1时，f(x)＝x3－x－1.由（1）知f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增.

①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减.因此，f(x)在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者.由

f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t).而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－，所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.

②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，

且－1,1∈[t，t＋3].

下面比较f(－1)，f（1），f(t)，f(t＋3)的大小.

由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有

f(－2)≤f(t)≤f(－1).

f（1）≤f(t＋3)≤f（2）.

又由f（1）＝f(－2)＝－，f(－1)＝f（2）＝－，

从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f（1）＝－，

所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.

综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.