Question

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且。

（1）求证：平面

（2）求二面角的大小的正切值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面垂直的证明与二面角的平面角的求解。

（1）因为底面，

  所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角

  由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1   易求得，AP=PD=，

又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以，从而根据线面垂直的判定定理得到。

（2）

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,

则平面SAD⊥平面PAD

因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD

过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,

由三垂线定理可知PR⊥SD,

所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角，然后接合直角三角形得到求解。

  证明：（1）因为底面，

  所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角………………．1分

  由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1   易求得，AP=PD=，……．2分

又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以．………．3分

因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,

所以SA⊥PD,                ……………．．．．4分

由于SA∩AP=A     所以平面SAP．………………… 5分

（2）设Q为AD的中点,连结PQ,       ……………………………6分

由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,

则平面SAD⊥平面PAD……．．7分

因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD

过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,

由三垂线定理可知PR⊥SD,

所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角．…9分

容易证明△DRQ∽△DAS,则  因为DQ=1，SA=1，，

所以……．10分   在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，

所以  所以二面角A－SD－P的大小的正切值为．13分