Question

在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．

（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；

（2）证明AB⊥平面BEF；

（3）求多面体E-AFNM的体积．

Answer

（1），证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】(I)显然可判断出MN//AF,所以MN//平面AEF.

（2）由平面图形可知,即立体图形中，问题得证.

(3)可利用来求体积.

【解析】
，   ………1分

证明如下：

因翻折后B、C、D重合（如图），

所以MN应是的一条中位线，…………3分

则．………6分

（2）因为 且

平面BEF，                           …………8分

(3)  方法一 ，

∴，     ………………10分

又  ……………12分

∴．     ………………………14分

方法二：

  ………………10分

由（2）知AB即是三棱锥A-BEF的高，AB=4

MB即是三棱锥M-BEN的高，MB=2，……………………11分

……………………13分

   …………………14分