Question

如图，A地到火车站共有两条路径L₁和L₂，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间/分钟	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．

Answer

(1) 甲应选择L1，乙应选择L2 (2)分布列见解析。数学期望 1.5(人)

【解析】(1)要分别计算出甲、乙选择不同路径的概率，要选择概率较大的路径.

(2) A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，本小题首先要确定X的可能取值为0,1,2,还要知道A、B两个事件是独立的.再计算出每个X值对应的概率，列出分布列，计算出数学期望.

【解析】
(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.

用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0. 3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，

∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；……………..3分

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，  P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2…………..5分

(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，X的可能取值为0,1,2……….6分

∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04，

P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，

P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54…………….9分.

∴X的分布列为

X

0

1

2

P

0.04

0.42

0.54

………10分

∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5(人)．………….12分