Question

已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：

⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小；

⑵．直线AD与直线BC所成角的大小；

⑶．二面角A-BD-C的余弦值．

Answer

⑴∠ADH=45°⑵90°⑶

【解析】(1)本小题关键是找出线面角，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，

则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.

(2)易证,所以,所以直线AD与直线BC所成角为.

(3)找（做）出二面角A-BD-C的平面角是解决本小题的关键.本小题可采用三垂线定理定角法.过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角.

【解析】
⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，

则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 

由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°…………….5分

⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，   ∴BC⊥AD，

故AD与BC所成的角为90°  ……9分

⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角  设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2

故二面角A—BD—C的余弦值的大小为 …………14分