Question

已知⊙O：，为抛物线的焦点，为⊙O外一点，由作⊙O的切线与圆相切于点，且

（1）求点P的轨迹C的方程

（2）设A为抛物线准线上任意一点，由A向曲线C作两条切线AB、AC，其中B、C为切点.求证：直线BC必过定点

Answer

（1）（2）见解析

【解析】(1)先求出抛物线的焦点M（2，0），设,因为,

然后根据坐标化建立方程，化简可得点P的轨迹方程.

(2)抛物线的准线为x=-2, 设A,再根据，

可得以A为圆心,为半径的圆的方程为,再与圆O的方程作差可得公共弦所在直线方程，从而可找到直线所过定点.

【解析】
（1）抛物线的焦点M（2，0）………….1分  设

 ………4分      化简得方程

P点轨迹为⊙C: …………6分

(2)抛物线准线方程为…………..7分     设A

⊙C: 化为……….. ①

C(4,0),半径…………..8分     由已知得

以A为圆心,为半径的圆的方程为

即………..②……………10分

由于BC为两圆公共弦所在直线   由②－①得BC直线方程…………12分

  得     直线BC过定点…………14分