Question

已知函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）记函数的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两

点．如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得：①；②曲线C在点M处的切线

平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”，试问：函数f（x）是否存在“中

值相依切线”，请说明理由.

Answer

（1）①当时,函数在上单调递增

②当时,函数在和上单调递增

③当时,函数在上单调递增；

④当时,函数在和上单调递增 

（2）不存在。理由见解析

【解析】(I)求导利用导数大于零确定其单调增区间，同时在求导时要注意函数的定义域.

(II)先假设函数存在“中值相依切线”, 设,是曲线上的不同两点，且，则，.从而可得

再利用导数求出点处的切线斜率,根据斜率相等建立方程，然后再考虑从函数的角度进行分析求解.

【解析】
（Ⅰ） 函数的定义域是.                 ………1分

由已知得，.         ………2分

ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增

ⅱ 当时，   ①当时，即时, 令,解得或;

函数在和上单调递增

②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；

③当时，即时, 令,解得或

函数在和上单调递增                  ...........6分

综上所述:⑴当时,函数在上单调递增

⑵当时,函数在和上单调递增

⑶当时,函数在上单调递增；

⑷当时,函数在和上单调递增   ………….7分

(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

       …9分

曲线在点处的切线斜率   ，

依题意得：.

化简可得： ， 即=.   ….11分

设 ()，上式化为：,

.   令,.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.   所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. …..14分