Question

（本题满分14分）

已知函数

（I）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（II）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值

是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，证明：．

Answer

（I）  ；

（II）存在实数，使得当时有最小值3．

（III）见解析

【解析】(I)本小题转化为在上恒成立问题，然后进一步转化为在上恒成立问题.

(II)本小题属于存在性问题，可设假设存在，然后利用导数研究其最小值，根据最小值3,建立关于a的方程，从而解出a值.

(III) 令，由（II）知．然后令，再利用导数求其最大值，令其最大值小于F（x）的最小值即可.

【解析】
（I）在上恒成立，…………1分

令，有  得   ………………4分

得                                       ………………5分

（II） 假设存在实数，使， 有最小值3，

           ………………6分

①当时，在上单调递减，

，（舍去），………………7分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件．………………8分

③当时，在上单调递减，

，（舍去），………………9分

综上，存在实数，使得当时有最小值3． ………………10分

（3）令，由（II）知．………………11分

令，，

当时，，在上单调递增 

∴     ………………13分

 即．………………14分