Question

（本小题满分14分）已知定义在上的函数满足，且对任意有．

（Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明．

（Ⅱ）令，，求数列的通项公式．

（Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值．

Answer

（Ⅰ）奇函数。见解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）的最大值为．

【解析】(1)先根据x,y取值的任意性，可令得， 然后再令x=0,可得

f(-y)=-f(y),从而可判定f(x)为奇函数.

（II）满足，则必有

，否则若则必有，依此类推必有，矛盾.据此可否定据此，

从而得到,

然后再根据，可确定是等比数列， 问题到此基本得以解决.

(III)在（2）的基础上，可知， 从而可采用错位相减的方法求和.

（Ⅰ）．对任意有…………①

令得；………………………………………………１分

令由①得，

用替换上式中的有………………………………………２分

在上为奇函数．………………………………………………３分

（Ⅱ）．满足，则必有

否则若则必有，依此类推必有，矛盾

………………………………………………５分

，又

 是为首项，为公比的等比数列，…………………………………７分

………………………………………………８分

 （Ⅲ）．………………………………………………９分

故……………………………………②

………………………③

②③得

………………………………………………１１分

………………………………………………１２分

若对恒成立须，解得……………………１３分

的最大值为． ………………………………………………１４分