Question

 (满分14分）设函数.

(1)求的单调区间;

(2)若当时,(其中不等式恒成立,求实数m的取值范围;

(3)试讨论关于x的方程:在区间[0,2]上的根的个数.

Answer

(1)增区间为,减区间为.

(2) 时,不等式恒成立.

(3) 时,方程无解;

或时,方程有唯一解;

时,方程有两个不等的解.

【解析】(1)直接利用导数大（小）于零，求其单调增（减）区间即可.

(2)利用导数求f(x)的最大值，则.

(3) 即

然后令,再利用导数确定g(x)的单调区间和极值，画出草图，观察直线y=a在什么范围变化时，它与y=g(x)有不同的交点.

(1)函数的定义域为.       ……… 1分

由得;  ……… 2分                    

由得,       ………3分

则增区间为,减区间为.       ………4分

(2)令得,

由(1)知在上递减,在上递增,   ………6分

由,且,      ……… 8分

时, 的最大值为,

故时,不等式恒成立.   ………9分

(3)方程即.记,则

.由得;由得.

所以在上递减;在上递增.

而,    ………10分

所以,当时,方程无解;

当时，方程有一个解;

当时,方程有两个解;

当时,方程有一个解;

当时,方程无解.                ………13分

综上所述,时,方程无解;

或时,方程有唯一解;

时,方程有两个不等的解.      ………14分