Question

已知二次函数满足且.

（Ⅰ）求的解析式.（Ⅱ）在区间上, 的图象恒在的图象上方 试确定实数的范围.

Answer

（Ⅰ）f(x)=x2-x+1. （Ⅱ）m<-1.

 【解析】本试题主要是考查了函数的性质和函数的解析式的运用

（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1.

∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.

即2ax+a+b=2x,

（2）由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.

设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.

那么可得。

【解析】
(Ⅰ)设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1.

∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.

即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x2-x+1.

(Ⅱ)由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.

设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.

故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1.