Question

提高南洋大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；  （Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

Answer

（Ⅰ）=

（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时

【解析】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．

（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；

（II）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值

【解析】
（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得

故函数的表达式为=

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当时，为增函数，故当时，其最大值为；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立．

所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．