Question

 （本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中

，O为中点.

（Ⅰ）求证：平面 ；

（Ⅱ）求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为。

【解析】(I)证明,即证:四边形AB1CO为平行四边形.

(II) 为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，然后建立直角坐标系,利用向量法求二面角,先求二面角两个面的法向量,然后再求法向量的夹角,根据法向量的夹角与二面角相等或互补来解.

（Ⅰ）证明：如图，连接，     …………..1分

则四边形为正方形，       …………..2分

，且  

故四边形为平行四边形，…………..3分

，            …………..4分

又平面，平面   ……..5分

平面                 …………..6分

（Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，…………..7分

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则

，…………..8分

，…………..9分

设为平面的一个法向量，由，得，

令，则………..10分

又设为平面的一个法向量，由，得，令

，则，………..11分

则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为………..12分

注：第2问用几何法做的酌情给分.