Question

(12分)

已知函数（其中是自然对数的底数，为正数）

（I）若在处取得极值，且是的一个零点，求的值；

（II）若，求在区间上的最大值；

（III）设函数在区间上是减函数，求的取值范围．

Answer

（I）

（II）时，单调递减；时，单调递增

当，即时，

当，即时，

（III）

【解析】(I)由可得关于k的方程,解出k值.

(II)先求导,然后利用导数研究f(x)的单调性极值和最值.

(III)本小题的实质是在区间上恒成立,即.

解法一：

（I）由已知

（II）

由此得时，单调递减；时，单调递增

当，即时，

当，即时，

（III）

在在是减函数，

在上恒成立

即在上恒成立

在上恒成立

又当且仅当时等号成立.

解法二；（I）,（II）同解法一

（III）

在是减函数，

在上恒成立

即在上恒成立

不妨设

由于无解.

综上所述，得出，即的取值范围是