Question

椭圆的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且P F₁⊥F₁F₂，| P F₁|=，| P F₂|=。

（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

Answer

 (Ⅰ) ＝1. (Ⅱ) 8x－9y+25=0.

【解析】本试题主要考查了椭圆方程的求解直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,

从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1.

（2）已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

   设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且

         ①         ②

点差法得到结论。

解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,

从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.   由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.   从而可设直线l的方程为   y=k(x+2)+1,

代入椭圆C的方程得  （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

因为A，B关于点M对称.   所以   解得，

所以直线l的方程为   即8x-9y+25=0.   (经检验，符合题意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

   设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且

         ①         ②

由①－②得              ③

因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,

代入③得＝，即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)