Question

已知是函数的一个极值点，其中，

（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；

（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

Answer

 (I) （II）当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）的取值范围为

【解析】考查利用导数研究的函数单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属中档题

（1）由x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，求导，则f′（1）=0，求得m与n的关系表达式；

（2）根据（I），代入f（x）中，求导，令导数f′（x）＞0，求得单调增区间，令f′（x）＜0，求得单调减区间．

（3）由已知得，即，结合二次函数来求解参数的范围。