Question

、设函数，，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．   

 (1)求g(t)的表达式；     

 (2)对于区间[－1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1) g(t)＝4t3－3t＋3．

 (2)当t＝－1或时，这样的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而当t∈(－1，1]且t≠时，这样的a不存在.

【解析】该题考查函数的求导，以及利用函数的导数判断函数的单调性进而求出函数的最值，还考查了三角函数的公式的利用，以及恒成立问题．

（1）利用三角函数转换公式化简f（x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式

（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤ 

成立，即≥g（t）的最大值，求出a的范围．

解析：(1)

         ．

由(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)有最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3．

 (2)我们有．

列表如下：

t

(－1，－)

－

(－， )

(，1)

g'(t)

＋

0

－

0

＋

G(t)

↗

极大值g(－)

↘

极小值g()

↗

由此可见，g(t)在区间(－1，－)和(，1)单调增加，在区间(－，)单调减小，极小值为g()

＝2，又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2     故g(t)在[－1，1]上的最小值为2

注意到：对任意的实数a，＝∈[－2，2]当且仅当a＝1时，＝2，对应的t＝－1

或，故当t＝－1或时，这样的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而当t∈(－1，1]且t≠时，这样的a不存在.