Question

20、   已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，

，其中a为常数，k为非零常数.

（Ⅰ）令，证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）当时，求.

Answer

（Ⅰ）证明：见解析；

（Ⅱ）数列的通项公式为    ，

（Ⅲ）当时, 

【解析】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

（1）由题意知an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，），得an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，），由此可知an-an-1=k（an-an-1），（n=2，3，4，），得k=1．

（2）由b1=a2-a1≠0，知b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0．因此bn=an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）═kn-1（a2-a1）≠0，由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列．

（3）{an}是等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）；先进行充分性证明：若f（x）=kx（k≠1），则{an}是等比数列．再进行必要性证明：若{an}是等比数列，f（x）=kx（k≠1）．

（Ⅰ）证明：由，可得

.由数学归纳法可证

.

 由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列.

（Ⅱ）【解析】
由（1）知，

当时，

当时，    .

而  

所以，当时,      .上式对也成立. 所以，数列的通项公式为. 当时

    。上式对也成立，所以，数列的通项公式为    ，

（Ⅲ）【解析】
当时,