Question

、如图：已知椭圆是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若AB上的一点F满足求证：CF平分∠BCA；

（3）对于椭圆上的两点P、Q，∠PCQ的平分线总是垂直于x轴时，是否存在实数λ，使得

Answer

（1）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）存在实数λ，使得.

【解析】(I)

又,∴△AOC是等腰直角三角形.

这样可由A(2,0),得到C（1，1），根据点C在椭圆上，a=2,可求出椭圆方程.

（II）因为,

从而可知F为有向线段BA的内分点，再借助分点坐标公式求出F的坐标.再证明即可.

（III）对于椭圆上两点P、Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴

  ∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，kpC=k，则kcQ=－k，设C（1，1），则PC的直线方程y－1=k(x－1)y=k(x－1)+1 ，QC的直线方y－1=－k(x－1) y=－k(x－1)+1，将直线PC的方程与椭圆方程联立消y得关于x的一元二次方程，可知x=1是其方程的一个根，这样可根据韦达定理可求出另一个根xp;同样的方法可求出xQ,从而可利用求出PQ斜率，如果与AB的斜率相等，就说明这两个向量共线，从而说明存在实数λ，使得.

【解析】

又

∴△AOC是等腰直角三角形. ∵A（2，0），∴C（1，1）而点C在椭圆上，

∴.   ∴所求椭圆方程为

（Ⅱ）证明C（1，1），则B（－1，－1）

又

即点F分所成的定比为2.  设

CF⊥x轴，  ∴∠ACF=∠FCB=45°，即CF平分∠BCA.

（Ⅲ）对于椭圆上两点P、Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴

  ∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，kpC=k，则kcQ=－k，

  设C（1，1），则PC的直线方程y－1=k(x－1)y=k(x－1)+1  ①

QC的直线方y－1=－k(x－1) y=－k(x－1)+1  ②

  将①代入得(1+3k2)x2－6k(k－1)x+3k2－6k－1=0  ③

  ∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程③的一个根，

  ∴xp·1==1同理将②代入x2+3y2=4得

（1+3k2）x2－6k(k+1)x+3k2+6k－1=0  ④

 ∵C（1，1）在椭圆上，          ∴x=1是方程④的一个根，

 ∴xQ·1=

 ∴存在实数λ，使得.