Question

．已知函数，若存在使得恒成立，则称是的一个“下界函数” ．

（I）如果函数（为实数）为的一个“下界函数”，求的取值范围；

（II）设函数，试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）   ；（Ⅱ）函数不存在零点.

【解析】（I）本小题实质是恒成立，即恒成立，然后利用导数的最小值即可.

(II)在（I）的基础上，可知，

,然后再构造函数,利用导数研究其最小值为,从而可知,从而证明F（x）无零点.

（Ⅰ）恒成立，，，     ……………2分

令，则，                   ……………4分

当时，，在上是减函数，当时，，在上是增函数，                                  ……………6分

                          ……………7分

（Ⅱ）由（I）知，①，

，                ……………10分

令，则，                       ……………12分

则时，， 上是减函数，时，，

上是增函数，

②，                                     ……………14分

，①②中等号取到的条件不同，，函数不存在零点.                         ……………15分