Question

已知圆C:.

(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；

(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设直线m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程；

 (3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值及相应的点坐标.

Answer

（1）3x-4y+5=0或x=1 ；(2) 点的轨迹方程是  () ；

（3）Q的坐标为 。

【解析】(1)分别讨论直线l的斜率存在和不存在两种情况.当斜率不存在时，可根据点到直线的距离公式再结合的圆的弦长公式可求出斜率k值.进而求出直线l的方程.

(2)本小题属于相关点法求动点的轨迹方程，先设出Q点坐标为(x,y), 点M的坐标为(),然后根据,用x,y表示,再根据点M在圆上，可得到动点Q的轨迹方程.

(3)设Q坐标为(x,y),得,再利用点Q的轨迹方程，消去y转化为关于x的一元二次函数来确定其最值，要注意x的取值范围.

（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为

和，其距离为，满足题意                            ………1分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即 ………2分

设圆心到此直线的距离为，则，得∴，…4分

故所求直线方程为3x-4y+5=0   

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1                           ……………5分

(2)设点M的坐标为(,)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(,0)

  ∵，∴  即，    ………7分

又∵，∴                     …………9分

由已知，直线m //y轴，所以，,

∴点的轨迹方程是  ()                ……………10分

（3）设Q坐标为(x,y)，， ， …………11分

又  ()可得：

.         ………………13分

此时Q的坐标为  …………14分